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例2（工程问题强化训练）
要完成某项工程，甲施工队单独干需要30天才能完成，乙施工队需要40天才能完成。甲乙合作干了10天，因故停工10天，再开工时甲、乙、丙三个施工队一起工作，再干4天就可全部完工。那么，丙队单独干需要大约（ ）天才能完成这项工程。

赋总量：设总量为30和40的公倍数，用短除法。30和40先约10，剩3和4互质，则公倍数为10*3*4＝120。（2）算效率：甲＝120／30天＝4，乙＝120／40天＝3。（3）列方程：分析题意，前面10天甲乙合作，后面4天甲乙丙合作。设丙的效率为x，120＝（4＋3）*10＋（4＋3＋x）*4，解得x＝5.5。数字设的越大，计算量越大，一般设最小公倍数。丙单独工作时，时间＝120／5.5＝21＋，比21多一点，选22天，选择偏大的取整的结果。【选B】【注意】1．完工时间：一次性完成全部工作所需的时间（只有40和30是全部完成的）。【找公倍数训练】（1）25、30：约数为5，剩下5和6互质，则公倍数＝5*5*6＝150。（2）8、10、15：8和15是互质的，先乘互质的，为8*15＝120,120和10求公倍数，120是10的倍数，则公倍数是120本身。（3）6、12、20：6和12有倍数关系，留大的，找12和20的公倍数，约数为4，剩下3和5互质，则公倍数＝4*3*5＝60。（4）12、15、18：用不了技巧，先约分，约数为3，剩下4、5、6,4和6有约数2，剩下2、5（不能约，照抄）、3互质，则公倍数为3*2*2*5*3＝180。查看更多

例3（工程问题强化训练）
某新建农庄有一项绿化工程，交给甲、乙、丙、丁4人合作完成。已知4人的工作效率之比为3：5：4：6，甲乙合作完成所需时间比丙丁合作多9天，则4人合作完成工程所需时间是（ ）。

方法一（方程法硬算）：题目给出效率比例关系。（1）设效率：甲＝3，乙＝5，丙＝4，丁＝6。（2）求总量：根据“甲乙合作完成所需时间比丙丁合作多9天”，总量＝甲乙＊天数；＝丙丁＊天数2，设小不设大，设丙丁完工时间为x天，则总量＝（3＋5）（x＋9）＝（4＋6）x，解得x＝8*9／2＝36天，则总量＝10*36＝360。（3）列算式：时间＝360／（3＋5＋4＋6）＝360／18＝20天。方法二：给出时间差值，可以用比例思维来做。甲乙合作完成所需时间比丙丁合作多9天，完成的总量是一定的，时间与效率成反比，甲乙效率为8，丙丁效率为10，则甲乙时间／丙丁时间＝10／8＝5／4。假设甲乙时间＝5x，丙丁时间＝4x，5x-4x＝9天，则x＝9天，甲乙用了45天，丙丁用了36天。4人合作效率为8＋10＝18，则4人合作时间为（10*36）／18＝20天。【选D】查看更多

例4（工程问题强化训练）
工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续施工30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？（  ）

方法一：（1）赋效率：设每台机器每小时效率为1。（2）求总量：总量＝30＊10＊80＊1。（3）前面12天是正常工作的，有10天无法施工，最后8天增加70台挖掘机。设每天工作x小时，列方程：30*10*80＝12*10*80＋8（80＋70）x，化简为18*10*80＝8*150x，解得x＝12小时，则每天多工作12-10＝2小时。方法二：少干了10天，现在用8天来顶原来正常8天和少干10天的量，即现在用8天顶18天的工作量。18天*80台*10h＝8天*150台*xh，这样计算量会简单很多。【选B】【注意】遇到N名工人、N台机器等表述时，一般默认每人效率相等，可设为1，则此时工作效率＝人数。查看更多

例5（工程问题给具体单位型）
办公室需要复印一批文件，使用甲复印机单独印需要20分钟，使用甲乙两台复印机一起印需要12分钟，已知甲复印机每分钟比乙复印机多印6份文件，则这批文件一共有（ ）份。

方法一：有具体单位，设未知数解方程。可以设总量和效率时，选择设效率。设乙效率为x份／分，甲效率为x＋6份／分。总量＝20（x＋6）＝12（x＋x＋6），解得x＝12，总量＝20＊18＝360。方法二：（1）设总量为12、20的公倍数60x。（2）甲效率＝60x／20＝3x，甲、乙效率＝5x，乙效率＝5x-3x＝2x。根据“甲复印机每分钟比乙复印机多印6份文件”，则3x-2x＝6份，x＝6，总份数＝60x＝360。【选C】【工程问题小结】 1．给完工时间型：（1）先赋总量（公倍数）。（2）再算效率＝总量／时间。（3）根据工作过程列方程。 2．给效率比例型：（1）先赋效率（满足比例即可）。（2）再算总量＝效率*时间。（3）根据工作过程列方程。 3．给具体单位型：设未知数，找等量关系列方程。查看更多

例1（基础行程典型常考问题-上下坡）
李大夫去山里给一位病人出诊，他下午1点离开诊所，先走了一段平路，然后爬上了半山腰，给那里的病人看病。半小时后，他沿原路下山回到诊所，下午3点半回到诊所。已知他在平路步行的速度是每小时4千米，上山每小时3千米，下山每小时6千米。请问李大夫出诊时共走了多少路？（ ）

已知李大夫下午1点离开诊所，下午3点回到诊所，共用2个半小时，看病用了半小时，则走路用了2小时。问总路程，S总＝V*t全。在病人家里的时间是不动的，相当于停工了，只考虑动的时间，则S总＝V*2h。根据题意画图，假设AB是平路，速度为4，BC段为上山，速度为3，回来的时候BC段速度为6，AB段速度为4。对于平路来说，来回速度都一样，V＝4。BC段为上下坡，VBC＝2V1V2/（V1+V2)（2*3*3）／（3＋6）＝4。平路平均速度和上下坡平均速度相等，则V至＝4，S总＝4＊2＝8，对应B项。【注意】1．若记不住等距离平均速度公式，可以记住公式为2*速度的乘积／速度和。 2．若本题上下坡的平均速度不是4的话，则本题无法进行求解，因为不知道上下坡和平路所花时间的比例。从真题角度而言，有平路有上下坡，往往全程的平均速度和平路的平均速度相同，不是必然结论，但是出题老师习惯于这样出。因此，秒杀技巧可以这样尝试秒杀方法：V全＝V平路=4，则S＝4*2＝8。【知识点讲解】基础行程： 1．基础公式考查：路程＝速度*时间。 2．等距离平均速度：（1）公式：V＝2V1V2／（V1＋V2）。平均速度＝总路程／总的时间，考的最多的是从A到B，然后原路返回，去的时候速度为V1，回来的时候速度为V2，路程相同，直线往返，为等距离平均速度。总路程为S＋S，去的时间为S／V1，回来的时间为S／V2，V＝（S＋S）／［（S／V1）＋（S／V2）］＝2／［（V1＋V2）／V1*V2］＝2V1V2／（V1＋V2）。（2）适用于： ①等距离两端（考的较少）：从A到B，速度为V1，再从B到C，速度为 V2，B为AC中点，求AC段的平均速度可以用等距离平均速度公式。 ②直线往返（考的较多）。 ③上下坡往返（考的最多）。若从A到B的路是九曲十八弯，每个上下坡不一定相等。将路程一段一段切开，若去的时候是上坡，则回来的时候是下坡，若去的时候是下坡，则回来的时候是上坡，同一段路程都是走两次。每一段的平均速度都是V，只要是上下坡往返的题都可以用等距离平均速度公式，一步得答案。查看更多

例2（相对行程相遇追及结合问题）
清晨，爷爷、爸爸和小磊在同一条笔直跑道上朝同一方向匀速晨跑，某一时刻，爷爷在前，爸爸在中，小磊在后，且三人之间的间距正好相等。跑了12分钟后小磊追上了爸爸，又跑了6分钟后小磊追上了爷爷，则再过（ ）分钟，爸爸可追上爷爷。

【相遇追及知识点讲解】 1.相遇（面对面)核心公式：S相遇=（V1+V2)*t 注意直线相遇和环形相遇公式都是一样的，环形相遇几次，距离S相遇=N圈。如果不是同时出发，有一人先出发几分钟，则S相遇=V1t先出发+(v1+v2)t 2.追及问题核心公式（两人同时出发）：S追及=V1t-V2t=(V1-V2)t,即追及距离表示两人的距离差。变形求时间如：若前面的人偷了后面运动员的钱包，跑了100米之后被运动员发现，运动员的速度为10m／s，前面人的速度为6m／s。t＝S／V差＝100／4＝25s。即25S即可追到。环形追及也是一样的公式（同时同向圆形跑道追及）。环形相遇或追及很少考N次的，一般是1次。本题解析如下：笔直跑道即直线运动，同一方向为追及。已知三人之间间距相等，则小磊追上爸爸追了一个S，小磊追爷爷追了2个S，为两个追及过程。小磊追爸爸：S＝（V磊-V爸）*12。小磊追爷爷：分析的时候只分析最开始和最后追上，不分析动态过程，小磊追爷爷在最开始就已经在追了，2S＝（V磊-V爷）*18。爸爸追爷爷：S＝（V爸-V爷）* t分钟。前两个方程中有4个未知数，本题从头到尾求的都是时间，与工程问题类似，考虑赋值，赋值S＝36（12和18的公倍数），根据第一个方程解得V磊-V爸＝3，根据第二个方程解得V磊-V爷=4，则V爸-V爷＝1，解得第三个方程t＝36／1＝36分钟。问再过多少分钟，则再过36-12-6＝18分钟，对应C项。查看更多

例3（相对行程问题之相遇真题）
两列对开的列车相遇，第一列车的车速为10米/秒，第二列车的速度为12.5米/秒，第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒，则第一列车的长度为（  ）米? 

相遇问题较简单，掌握公式很快即可秒算。本题中问的是第一辆车的长度，但题目中并未给出与之相关的直接信息，因此要转化一下问题中的考察点。由第一句可知两辆车为对开，因此要先想到此题考察的因为相遇的知识考点，第二辆车上的旅客发现第一辆车在旁边开过时共用6秒，相当于6秒为该乘客将整列火车从头看到尾，又由相遇可知两列火车的速度和为10米/秒+12.5米/秒=22.5米/秒，可以转化成第一列火车不动，第二列火车以22.5米/秒的速度用6秒将第一列火车看完，代入公式可得结果(10m/s+12.5m/s)X6s=135m,答案为D选项。查看更多

例4（相对行程问题之环形追及相遇真题）
老林和小陈绕着周长为720米的小花园匀速散步，小陈比老林速度快。若两人同时从某一起点同向出发，则每隔18分钟相遇一次；若两人同时从某一起点相反方向出发，则每隔6分钟相遇一次。由此可知，小陈绕小花园散步一圈需要多少分钟？（ ）

同向出发，考追及。题干出现“每隔18分钟相遇一次”，只要出题老师写的方向是追及，则考的一定是追及。“追及”为背后相遇，从广义上说追及也是相遇的一种。只要看到方向是同向，直接套追及公式即可。已知两人同时从同向出发，每隔18分钟相遇一次（追及问题），则S＝1圈＝720＝V差*18分钟。已知两人同时从某一起点相反方向出发，每隔6分钟相遇一次（相遇问题），则S＝1圈＝720＝V和*6分钟，解得V差＝40，V和＝120。要算小陈绕一圈的时间，速度快的人：V大＝（V和＋V差）／2＝（40＋120）／2＝80，则小陈的速度为80，则小陈绕小花园散步一圈的时间t＝720／80＝9分钟，对应D项。【选D】【注意】速度大的V大＝（V和＋V差）／2，速度小的V示＝（V和-V差）／2。谁追谁就可以看出谁的速度大，公式咋来的？列方程求解即可，V1+V2=120，V1-V2=40.两个方程相加，即可消掉V2求出V1。查看更多

例5（相对行程问题之多次相遇真题）
在一次航海模型展示活动中，甲乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲乙两款模型相遇次数是（ ）。

已知甲乙速度，“调头转身时间略去不计”即只看运动过程。“两端出发”“相向匀速而行”“12分钟相遇的次数”，则本题为多次相遇问题。公式：（2n-1）S＝V和＊t，已知水池长100米，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，问题时间是12分钟，因此要注意统一单位，（2n-1）*100＝（100／72＋100／60）*12*60，解得n＝11.5，n为已经相遇的次数，工程问题中若时间为11.5天，要选12天，因为11天还没有完成，工程问题中时间要向上取整。但是本题问的是已经相遇的次数，已经相遇了11次，第12次还没到，对应C项。【选C】【注意】本题不能通过2n-1是奇数，因此排除B、D项。因为奇数乘以一个数，奇偶无法确定。查看更多

例6（相对行程之流水行船问题）
有A、B两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B港口出发前往两地中间的C港口。C港与A厂的距离比其与B厂的距离远10公里。乙船出发后经过4小时到达C港，甲船在乙船出发后1小时出发，正好与乙船同时到达。已知两船在静水中的速度都是32公里／小时，问河水流速是多少公里／小时？（ ）

【相遇追及知识点讲解】核心必背公式：（1）常识式（必须记住）：顺流速度=船速+水流速度；逆流速度=船速－水流速度。V顺＝V船＋V水，V逆＝V船-V水。考试中会暗示水流方向（顺流还是逆流）。（2）推导式（尽量记住）：推导出船速和水速：船速=（顺水速度+逆水速度）÷2；水速=（顺水速度－逆水速度）÷2。即V船＝（V顺＋V逆）／2，V水＝（V顺-V逆）／2。 2．注意（重要）：静水速度＝船速、漂流速度＝水速，不能看到水就是水速。【本题解析】题干已经明确已知上游和下游，画图辅助理解，上游画的高一点，下游画的低一点，观察方向。注意C点为中间不是中点，已知C港与A厂的距离比其与B厂的距离远10公里，则AC＝BC＋10。乙船为逆流，乙船出发后经过4小时到达C港，则BC＝4*V逆。甲船比乙船晚1小时出发，同时达到，即3小时到达，甲为顺流，列式：3V顺＝4V逆＋10。已知两船在静水中的速度都是32公里／小时，问河水流速度，知道船速问水速，3（32＋V船）＝4（32-V船）＋10，解得V水＝6，对应C项。【选C】查看更多