【知识点】比例行程： 1．三量关系：路程＝速度*时间。 2．（1）路程一定，速度与时间成反比（考的最多，是唯一的反比，难度较 高）。工程问题中当总量一定时，效率和时间成反比，行程问题中，路程相当 于工程问题的总量，速度相当于工程问题的效率。 （2）速度一定，路程与时间成正比。 （3）时间一定，路程与速度成正比。 【本题解析】 根据“同时出发”“走到•••••时候”（结束时间相同）可知时间是定值，比例行程。已知当老王走到一半路程时，老李走了100米；当老王回到起点时，老李走了5／6的路程，列式：S（S*1／2）／S车（100米）＝V王／V＝S（S）／S（S*5／6），整理得：S*（1／2）／100＝V／V＝＝S／（S*5／6），100*1＝1／2*S*5／6，解得S＝240，对应B项。【选B】 【注意】1．时间一定，即时间对于两人来说是相等的。 方法2（秒杀法　数字特性排除＋代入法）．本题有5／6的路程，遇到分数、百分数、比例，可以考虑倍数特性，全程要被6整除，排除A、C项。剩二代一，代入D项验证：老王走150，老李走100，150／100＝3／2，速度之比为3／2。老王回到起点时，即老王走完全程300米，而老李走了5／6的全程，即走了250米，3／2≠300／250，则D项错误，对应B项。查看更多

【知识点】经济利润问题 (1)利润=售价-进价 (2)利润率=利润/进价（注:资料分析是利润/收入喔,不同的学科研究重点不同，数学中研究的是成本的基础上赚了多少；资料 中研究的是收入中有哪些是利润，研究的是一个比重问题，如1个亿中有1千万 是利润还是有几千万是利润，把利润率当作比重理解。) (3)售价＝成本*（1＋利润率） 推导：售价＝进价＋利润，利润＝利润率*进价，则售价＝进价＋进价*利润率＝ 进价*（1＋利润率）。 (4)折扣＝折后价／折前价。 进价是100元，现在售价为120元，如果现在打折变成60元，请问打了几折？（打九折售价是原来的90％，打八折售价是原来的80％，打几折就是原来打折前价格的百分之几十） 答：打五折，120*50％＝60，注意不要用进价100和折后价60比较。 ②打折是在售价基础上打折，与成本价／进价没有关系。 ③折后的考法有一些省份会出特殊概念-折扣率，如折扣率为20％不是打两折，而是打八折，因为打八折是卖80％，与原来相比少了20％，20％就称作折扣 率，所以折扣率为20％＝打八折（这种考法在江苏出现过，别的地方考的很少）。 （5）一批商品，研究总售价或利润的情况。 ①总价＝单价*数量。 ②总利润＝单个利润*数量＝总售价-总进价。 a.在用总利润＝单个利润＊数量时，一定要注意陷阱，如果有些商品卖不掉， 不卖了，如：生产一个包子的成本1元钱，有些包子卖不掉了，不卖了，卖不掉 的包子就亏了1元，亏损的要另算。若一个包子赚1元钱，卖了100个包子，赚 了100元，但是还有10个没有卖掉，亏损了10元，也要将这10元算进去，即 实际利润＝100-10＝90元。 b.用总利润＝总售价-总进价运算时，卖的就是售价，进货的或生产的就是成 本，卖掉的、卖不掉的都考虑进去了，就不用额外单算。一般容易算对，不容易 算错，推荐用此方法做题。 公式中，第一个和第二个是定义，把概念搞清楚，不要理解错；第三个是推导。在考试过程中都有可能考，但是最重要的是前面两个。 【本题解析】 “降价20％”是打八折。而题干中“进价20元”是成本。52％＝利润／进价＝利润率。题目中所求的定价是打折前原来的价格。设定价为x元，根据折后售价＝成本*（1＋利润率）列式得，x*（1-20％）＝20*（1＋52％），化简得0.8x＝30.4，则x＝30.4／0.8，选项很接近，要算两位，首位商3，次位商8，对应C项。 【注意】1．本题考查最基本的公式的概念，要对数字间关系熟悉，不能想当然的看错。如“进价20元，降价20％”不是卖16的意思，是在定价的基础上降了20％，打八折，打八折后获得进价52％的利润，52％是指利润率。 2．利润＋百分数，理解为利润率，如20％的利润，意思是利润率为20％。 3．降价20％是打八折；降价到20％是打两折。查看更多

考察总利润问题。 盈利23元，盈利就是利润。有原定售价和降价的过程，分两个阶段（按原价卖的和按降价后卖的）去看较好理解。因为总共盈利（利润）2275元，总利润＝总售价-总成本，但本题没有给具体的售价，所以用总利润＝单个利润*公斤数计算。按原价卖单价为23元，但数量未知，因为原价卖的重量是总量的5／9，所以设总量为9x千克，则按原价卖的数量为5x千克，降价后卖了4x千克。所以按原价卖的利润为23*5x，根据按原价卖的单个利润*数量＋按降价卖的单个利润*数量＝总利润列方程，但是降价后的单价未知，因为在进价不变的情况下，售价变多少，利润就变多少，本题中降价前的利润为23，降价8元，则降价后利润＝23-8元，所以根据等量关系列方程为：23*5x＋（23-8）* 4x＝2275元，约分后得23x＋12x＝455，解得x＝13。问的是原价卖的千克数5x，则5x＝5*13＝65。【选B】 【注意】1．在进价不变的情况下，售价变多少，利润就变多少。 2．本题中将总量设成9x是按照倍数特性设出来的，如果总量设成x会出现分数。查看更多

考察利润里核心公式和计算技巧 售价不变是与去年相比，有时间点、有多个主体。如图，去年到今年涉及的主体有成本、售价和利润率。题目中给的数据都是比例，求的也是比例，没有给具体数值，此时需要赋值。赋去年成本为100，“今年成本比去年减少15％”，则今年的成本为100-15＝85。设售价为x，因为售价不变，所以今年和去年售价都是x。利润率＝利润／成本，所以去年利润率＝（x-100）／100；今年利润率＝（x-85）／85。因为“利润率比去年增加了24个百分点”，所以（x-100）／100＋24／100＝(x-85)/85。 方法一：（x-100）／100＋24／100＝（x-85）／85，化简得（x-76）／100＝（x-85）／85，交叉相乘得，17*（x-76）＝20*（x-85），解出x＝136（较难算，计算量较大）。去年的利润率＝（136-100）／100＝36％，对应C项。 方法二：（x-76）／100＝（x-85）／85（将分子分母同时做差做和，进行比例传递），原式约分后得（x-76）／20＝（x-85）／17，将分子分母做差得：（-76＋85）／（20-17）＝9／3＝3，则（x-76）／20＝（x-85）／85＝3，解得x＝136，去年的利润率＝（136-100）／100＝36％，对应C项。【选C】 【注意】1．对“利润率比去年增加了24个百分点”的理解：去年是10％的利润率，今年的利润率就是24％＋10％＝34％。 2．如果去年利润是1000元，今年利润是1240元，则文字表述为“利润增加24%”。 3．有时间点，有多个主体用列表法解题。 4．（1）一般来说，有成本有利润的题一般赋成本，因为利润、利润率是在成本的基础上算的；将去年的赋值为100，因为今年是在去年的基础上改变的。 （2）赋值的特点：赋任何值不影响答案的计算，为了看起来更具体，所以会赋值，成本会做减少15％、减少或增多百分之几十几的运算，如果设小了，可能会出现小数。 5．小技巧：如果A／B＝C／D，那么A／B＝C／D＝（A±C）／（B±D）。（速算技巧 需熟记可秒杀）查看更多

考察：总利润＝总售价-总成本＝卖掉的售价*卖掉的重量-总进价*总数量核心公式。 设购买了10x公斤，其中x卖不掉，卖掉的部分为9x，所以根据关系式列方程为：25*9x-10*10x＝12000，化简得2400＝（5*9-20）x，解得x＝2400／25，首位商9，根据题目和所设未知数，我们要求的是10x，因为x是9开头的数，所以10x首位不变，也是9开头的数，对应C项。 方法二：运用总利润＝单个利润＊数量做题。设总重量为10x，已知原价为25，进价为10，所以单个利润为25-10，因为在销售的过程中有0.5x磕碰受损，0.5x过度成熟，无法卖出，所以卖出9x的水果，则列式为12000＝（25-10）*9x，这种做法是错误的。要把磕碰受损和过度成熟的无法卖出的部分算进去，亏损了x，亏损部分的售价为0，所以亏损的就是成本。综上所述，根据关系式列式为12000＝（25-10）*9x＋（0-10）*x，化简得12000＝135x-10x，则x＝12000／125，首位商9,10x首位商也是9，对应C项。【选C】 【注意】1．算x等于多少时，一定要看我们需要求的是几倍的x，如本题，如果要求的是5x，则首位是4开头，本题求的是10x，所以首位不变。 2．在用总利润＝单个利润＊数量做题时，出题老师会出陷阱：在一批货物中不会全部卖完，会有一些货物卖不掉，亏损了。如本题中磕碰受损和过度成熟的无法卖出的部分，所以要把亏损的部分算进去。 3．有无法卖出的题优先用第总利润＝总售价-总成本。查看更多

【容斥原理知识点】考的多： 两集合（出现A和B，且二者有交叉）：A＋B-A∩B＝全-都不。如一个班级有30人，参加国考有25人，参加省考有27人，国考、省考都参加的有24人，问有多少人国考、省考都不参加。这种两集合有交叉的就叫两集合容斥原理，有两种思路：画图法较难，25个参加国考的人中，有24个是都参加的，则只有1个人只参加国考；同理，27个参加省考的人中，有24个是都参加的，则只有3个人只参加省考。都不参加人数＝30-（1＋24＋3）＝30-28＝2人。如果直接套公式即可秒算：A＋B-A∩B＝全-都不，代入数据 国考+省考-都参加=全部人数-都不参加的，25+27-24=30-都不，解出都不参加的人数是2人。 注意：（1）巧记成，多的-都参加=总数（少的）-都不参加的。 （2）如果问只参加A(如国考）或只参加B（省考）的人数，则不能用公式法。但这种考的较少。 【本题解析】 本题描述“红色”和“夏利”两种情况，将红色用A表示，夏利用B表示，“既不是A又不是B”即为“都不”，“红色夏利轿车”即“ANB”。“A”“B”“都不”均已知，求“A∩B”，可以直接利用公式，直接代入，不要修改公式，容易犯错，35＋28-（）＝50-8，看选项，选项尾数各不相同，用尾数法，尾5＋尾8-（）＝尾2，尾3-（）＝尾2，（）＝尾1，对应B项。【选B】 【注意】本题比较简单，要拿分。数量关系有些题还是很简单的，能拿一部分分。查看更多

【容斥原理进阶题型】 推导公式：只A+B=全或者 A+只B=全（画图推出） “拿到苹果”用A表示，“拿到梨”用B表示。分析题干得到：“每人最少拿一个”即“没有都不”，“最多拿两个不同的水果”即“ANB”，求只拿到苹果的人数。出现“只••....”用画图法： 方法一：9个人拿到苹果，8个人拿到梨，需要求出苹果和梨都拿到的人数，再用9-都拿到的人数＝只拿到苹果的人数。共有13个人，只拿梨的人数（右侧月牙部分）＝13-9＝4人，都拿的人数（中间交叉部分）＝拿梨的人数-只拿梨的人数＝8-4＝4人，只拿苹果人数＝拿苹果人数-都拿的人数＝9-4＝5人（费时费力 麻烦，不推荐）。 方法二：本题求只拿苹果的人数，根据画图一看便知，只拿苹果的人数＝总-拿梨的人数＝13-8＝5人。【选B】 容斥原理其实是集合概念，一种计数的方法。比较简单，更难的是三集合。查看更多

【容斥原理三集合知识点】 三集合标准型公式：三集合即比两集合多一个，如国考、省考再多出一个选调生。公式：A＋B＋C-A∩B-B∩C-C∩A＋A∩B∩C＝全部-都不。（也是画图法推导的） 本题解析： 给出3种方法，分别用A、B、C表示，利用公式：A＋B＋C-A∩B-B∩C-C∩A＋A∩B∩C＝全部-都不，可以转换为 A＋B＋C-（A∩B+B∩C+C∩A）＋A∩B∩C）＝全-都不，代入数据：68＋77＋59-（54＋43＋35）＋30＝120-x，八个选项尾数各不相同，用尾数法，尾8＋尾7＋尾9＝尾4，尾4＋尾3＋尾5＝尾2，尾4-尾2＝尾0-x，尾2＝尾0-x，解得x尾数为8，对应D项。【选D】查看更多

【容斥原理三集合高频考点】 三集合非标准型（比较特殊，更容易考，为重中之重）： A＋B＋C-满足两项-满足三项*2＝全-都不，公式变得更简单。 特别要注意：满足两项和标准型的A∩B不一样，少了一个三项相交的。 判定：题干中出现“既--又--（A∩B）或A B都”用标准公式；没有出现“既--又--.”用非标准公式。 本题解析： 问卷调查，回收率为90％，即发出100份，回收90份。根据已知得出，有三种情况，都不＝0，将网络、书本、移动设备看成A、B、C，使用三种方式（A∩B∩C）有50人，使用两种方式（即只使用两种的所有人数情况合计）有20人，本题没有出现“既--又--”，用非标公式。公式：A＋B＋C-满足两项-满足三项*2＝全-都不，代入数据，180＋200＋100-20-50*2＝x-0，选项尾数都是0，不能用尾数法，直接计算，解得x＝360。但答案中没有360，因为本题中涉及回收率为90％，x为收回的360份，求发放的份数，回收率＝收回／发放，360／（ ）＝90％，（ ）＝360／90％＝400。【选D】 【注意】1．本题如果出现360的选项会是个坑，但可以根据360和400以坑治坑去做，因为360／400＝90％，很可能发放400份，回收360份。 2．当算出结果后不要急着选答案，不要漏掉条件（回收率），题干不会平白无故的给一句话。查看更多

考察容斥原理三集合非标准型公式和方程计算技巧。 本题题干看起来比较短，而且有三种情况，一般是三集合非标准型。“每个职工至少参加一个”即“没有都不”，书法、乒乓球和围棋用A、B、C表示，求“满足三项”的至多有多少人。三集合，无“既••••••又••...•”，为三集合非标准型。 方法一：没有满足两项和满足三项的人数，分别用x和y表示，代入公式：36＋20＋28-x-2＊y＝72-0，化简得，x＋2＊y＝12。问报名三个班的职工最多有多少人，即求y最大为多少，注意不是2＊y。当x＝0时，2＊y最大＝12，此时y最大＝6。 方法二：x＋2＊y＝12，不定方程，可以直接代入选项，选项都是偶数，无法用奇偶性，直接代入，当y＝12／16／20时，x均为负数，人数不可能为负数，排除B、C、D项。【选A】 【注意】 （1）如果用方法二，要从D项开始代入，因为求至多，要从最大的开始代入。 （2）如果问“报名两个班的职工数至多是多少”，即求x最大为多少，此时当y＝0时，X最大＝12。 （3)有的同学会考虑，x＝0，y＝6画不出对应的图形，通常画成圆形是为了方便美观，集合是没有图形的，即存在没有两者交叉的情况。 扩展：常识公式（考查比较少）：根据常识，三集合只有四种情况：满足一项、满足两项、满足三项、都不满足。如果已知满足两项有50个，满足三项有30个，都不满足有7个，总数有100个，根据公式：满足一项＋满足两项＋满足三项＝总数-都不，得到满足一项＝100-7-50-30＝13。查看更多